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4 utilisateurs inconnus TASKABOSSERPLUS Invité |
En 3ème, je suppose;
(AC)//(MP)
En appliquant le théorème de Thalès aux triangles BAC et BMP,
tu obtiens BM/BA = MP/AC (=BP/BC)
or BA = AC, deux fractions égales avec le même dénominateur ont forcément le même numérateur, par suite BM = MP d'où le résultat.
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TASKABOSSERPLUS Invité | Version 5ème:
Deux cas se présente suivant la position relative du point M,
1er cas) si M appartient à [BA)
les droites (AC) et (MP) sont parallèles,
donc les angles correspondants ^ACB et ^BPM sont égaux
Par ailleurs, les angles ^ABC et ^ACB sont égaux car le triangle ABC est isocèle en B.
On a,
^ACB = ^BPM
^ACB = ^ABC Or si deux nombres sont égaux à un même nombre alors ces deux nombres sont égaux entre - eux donc:
^BPM = ^ABC, c'est à dire ^BPM = ^MBP
Or si dans un triangle deux angles sont égaux, alors ce triangle est isocèle,
donc BMP est isocèle en M.
2ème cas) M n'appartient pas à [BA)
^PBM = ^ABC (*) car deux angles opposés par le sommet sont égaux.
(AC) // (MP)
donc les angles alternes - internes ^BPM et ^BCA sont égaux (**)
Par ailleurs, les angles ^ABC et ^ACB (***) sont égaux car le triangle ABC est isocèle en B.
De (*), (**) et (***) on déduit que ^BPM = ^PBM
Or si dans un triangle deux angles sont égaux, alors ce triangle est isocèle,
donc BMP est isocèle en M.
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TASKABOSSERPLUS Invité | Je viens de voir en 4ème, alors...
L'énoncé, si il s'agit d'utiliser la proportionnalité des longueurs des côtés des triangles, pose un problème en 4ème. Si il n'y a pas d'erreur! Si c'est bien cet énoncé deux cas peuvent se présenter suivant la position de M sur la droite (BA).
Sinon la version sur les angles convient...
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx... M se retrouve sur la demi - droite [BA)
----!-------!-----------...
B A
xxxxx M ne se retrouve pas sur la demi - droite [BA)
----!-------!-----------...
B A
1er cas) si M appartient à la demi - droite [BA)
(AC)//(MP)
En appliquant la proportionnalité des longueurs des côtés des triangles (Thalès) aux triangles BAC et BMP,
tu obtiens BM/BA = MP/AC (=BP/BC)
or BA = AC, deux fractions égales avec le même dénominateur ont forcément le même numérateur, par suite BM = MP d'où le résultat.
2ème) si M n'appartient pas à la demi - droite [BA)
il suffit de considérer M' le symétrique de M par rapport à B,
et P' le symétrique de P par rapport à B.
Ensuite, on se retrouve dans le 1er cas avec les triangles BM'P' et BAC
et comme précédemment, on démontre que BM' = M'P' (1),
[BM'] et [M'P'] sont les symétriques respectifs de [BM] et [MP],
Toutes les symétries centrales conservent les longueurs,
donc BM = BM' (2) et MP = M'P' (3)
de (1), (2) et (3) on conclut que BM = MP, d'où le résultat.
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lilito | merci beaucoup pour ton aide, j'espere avoir une bonne note.saluuuuuuuut |
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